Квазиимпульс и эффективная масса носителей заряда. Зонная теория твердых тел Определение эффективной массы электрона

). Эффективная масса электрона в кристалле, вообще говоря, отлична от массы электрона в вакууме.

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

ОТРИЦАТЕЛЬНАЯ МАССА [Новости науки и технологий]

Электрические газонокосилки из Германии -Wolf Garten

Самый полезный товар!!! Инвертор Дніпро-М САБ-260ДПА

FAQ: Как выбрать печь, длительного горения, для отопления помещения от 100 до 150 кубов?

Субтитры

Сегодня в выпуске: учёные разработали прибор, извлекающий воду из сухого воздуха, а физики из США создали вещество с отрицательной эффективной массой. Всем вечного здравия! С вами Александр Смирнов, Правильная Правда и Новости науки и технологий. Проблема доступа к воде становится все более острой для Земли - по оценкам ООН, к 2025 году она коснется более 14% жителей нашей планеты. На сегодняшний день существуют множество методов опреснения морской воды, но эти технологии имеют два главных недостатка – они или очень дороги и энергозатратны, или же системы очистки быстро засоряются и приходят в негодность. Таким образом, данная технология становится экономически нецелесообразной. Что же делать? Американские ученые из Массачусетского технологического института и Калифорнийского университета в Беркли придумали устройство, которое может добывать воду прямо из воздуха. Прототип, созданный учеными, работает даже в условиях пустыни и в конечном итоге может обеспечить домашние хозяйства чистой питьевой водой, в которой они так нуждаются - путем извлечения влаги из окружающей атмосферы. Нельзя выжать сок из камня, а вот добыть воду из пустынного неба вполне возможно, и все благодаря новому устройству, которое использует солнечный свет для всасывания водного пара из воздуха даже при низкой влажности. Прибор назвали солнечным хАрвестером (solar-powered harvester). Он работает на солнечных батареях. Устройство может давать воду при относительной влажности воздуха в 20%. При создании устройства были использованы металлорганические соединения (МОС). Они представляют собой сложные полимерные материалы, похожие по структуре на пчелиные соты и обладающие очень высокой пористостью и прочностью. Сегодня они используются для создания фильтров, способных улавливать углекислоту или водород и удерживать в себе огромные количества этих газов. В случае с данным хАрвестером применялись МОС с цирконием и адипиновой кислотой, которая связывала водяной шар. Эта структура была измельчена до состояния пыли. Работает он крайне примитивно – "песок" из частиц МОК поглощает воду из воздуха, а свет и тепло Солнца, направляемые на него системой зеркал, заставляют пары воды покинуть их и сконденсироваться в сосуде, подключенном к этому опреснителю. Решетчатая структура полимера захватывает молекулы водяного пара, содержащиеся в воздухе, а солнечный свет, проникающий через окошко, нагревает МОК и направляет связанную с ним влагу к конденсатору, имеющему температуру наружного воздуха. Именно он окончательно превращает пар в жидкую воду, которая капает в коллектор. Подобное устройство, содержащее в себе килограмм МОК, может вырабатывать около трех литров воды за полдня даже из достаточно сухого воздуха с 20-30% влажности. В принципе, этого хватает для того, чтобы обеспечить человека необходимым количеством питьевой воды на сутки. Стоит отметить, что установке еще есть куда расти. Во-первых, цирконий стоит 150 долларов за килограмм, что делает устройства для сбора воды слишком дорогими, чтобы его можно было массово производить и продавать за скромную сумму. Впрочем, ученые утверждают, что уже успешно спроектировали водосборный аппарат, в котором цирконий заменен в 100 раз более дешевым алюминием. Это может сделать будущие водосборщики пригодными не только для утоления жажды людей в засушливых районах, но, возможно, даже для снабжения водой фермеров в пустыне. Эта работа предлагает новый способ сбора воды из воздуха, которому не требуется высокая относительная влажность, и он гораздо более энергоэффективен, чем другие существующие технологии. Команда ученых планирует улучшить харвестер, чтобы он мог всасывать гораздо больше воздуха и производить больше воды. Созданный ими прототип поглощает воду лишь на 20% составляющую его собственный вес, однако теоретически этот показатель можно повысить до 40%. Также физики собираются сделать прибор более эффективным в условиях повышенной и пониженной влажности. Ученые хотели продемонстрировать, что если человек застрянет где-то в пустыне, то сможет выжить с помощью этого устройства. Человеку требуется около банки из-под колы воды в день. С помощью этой системы её можно собрать менее чем за час. Получать воду из воздуха также можно с помощью ветряных турбин и наземных фильтрующих установок. Но в отличие от разработки американских ученых, эти системы вырабатывают воду за счет образования конденсата, поэтому они малоэффективны в условиях засушливого климата. Отличное дело. Если удастся довести до промышленного производства, то это позволит решить проблему питьевой воды не только в засушливых местах на Земле, но даже на Марсе, конечно, если она сохранилась в ошметках его атмосферы. Но сам по себе прибор отличный, который фактически делает из воздуха и воду, и деньги. А если установить вечером в пятницу в каком-нибудь баре, то можно собрать коктейль. Еще бы такое устройство еду добывать научилось… В любом случае, поздравляем ученых и ждем когда завезут на Алиекспресс. Представьте себе некий предмет – ручку, телефон, ластик. Теперь мысленно надавите на него пальцем. Если вы давите достаточно сильно, то предмет сдвинется с места по направлению приложенного давления. В соответствии с физикой Ньютона ускорение тела по направлению совпадает с приложенной к нему силой и обратно пропорционально массе. Однако в микромире этот закон не всегда действует. Учёные из Вашингтонского государственного университета объявили, что сумели создать вещество с отрицательной массой. В теоретической физике, отрицательная масса - это концепция о гипотетическом веществе, масса которого имеет противоположное значение массе нормального вещества (также как электрический заряд бывает положительный и отрицательный). Например, −2 кг. Такое вещество, если бы оно существовало, нарушало бы одно или несколько энергетических условий и проявляло бы некоторые странные свойства. По некоторым спекулятивным теориям, вещество с отрицательной массой можно использовать для создания червоточин (кротовых нор) в пространстве-времени. Звучит как абсолютная фантастика, но сейчас группе физиков из Университета штата Вашингтон, Вашингтонского университета, Университета OIST (Окинава, Япония) и Шанхайского университета удалось получить вещество, которое проявляет некоторые свойства гипотетического материала с отрицательной массой. Например, если толкнуть это вещество, то оно ускорится не в направлении приложения силы, а в обратном направлении. То есть оно ускоряется в обратную сторону. Для создания вещества со свойствами отрицательной массы учёные подготовили конденсат Бозе - Эйнштейна. В этом состоянии частицы двигаются исключительно медленно, а квантовые эффекты начинают проявляться на макроскопическом уровне. То есть в соответствии с принципами квантовой механики частицы начинают вести себя как волны. Например, они синхронизируются между собой и протекают через капилляры без трения, то есть не теряя энергии - эффект так называемой сверхтекучести. В нашем случае экспериментаторы поместили полученный конденсат в удерживающее его поле. Частицы замедлили лазером и дождались, когда наиболее энергичные из них покинули объём, что ещё больше охладило материал. В «чашечке» диаметром около 100 микрон микрокапелька вела себя как обычное вещество с положительной массой. При нарушении герметичности сосуда атомы рубидия разлетелись бы в разные стороны, поскольку центральные атомы выталкивали бы крайние атомы наружу, а те ускорялись бы в направлении приложения силы. Для создания отрицательной эффективной массы физики применили другой набор лазеров, который изменял спин части атомов, при этом частицы конденсата, преодолев энергетический барьер, покинули «чашку» в обратном направлении. Таким образом физикам удалось математически выполнить условие второго закона Ньютона – тело, на которое действует сила, приобретает ускорение в направлении навстречу этой силе, а не в противоположную сторону, как обычно, т. е. ведет себя так, как будто мы имеем дело с отрицательной массой. Правда, сам этот закон в квантовом мире не действует, да и участники эксперимента в своей статье в пишут об отрицательной эффективной массе, что не совсем то же самое. Тем не менее, поставленный опыт и его результаты дают почву для размышлений о мироздании и материи в нем. Физические теории не видят ничего невозможного в существовании отрицательных масс и даже пытаются с их помощью объяснить некоторые аспекты видимого мира, в частности события, происходящие в недрах черных дыр или нейтронных звезд. Вообще, в голове с трудом укладывается даже определение отрицательной массы. Наверное, потому что речь идет про эффективную массу - фактически, виртуальный параметр. Сами по себе частицы обычные, но ученые создали условия, в которых эти частицы стали частицами с отрицательной массой. Как кредит с отрицательной ставкой. Депозит называется. А ещё есть социальная отрицательная масса. Если тебе холодно и ты хочешь обнимашек, тебя посылают в обратную сторону. Тем не менее, надеюсь, что данной исследование приблизит учёных к созданию гравицапы. Всем спасибо за просмотр! С вами был Александр Смирнов, Правильная Правда и Новости науки и технологий. Не забывайте ставить Любо данному синематографу, подписываться на канал, а также делиться видео с друзьями. Лехаим, бояре!

Определение

Эффективная масса определяется из аналогии со вторым законом Ньютона F → = m a → . {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}.} С помощью квантовой механики можно показать, что для электрона во внешнем электрическом поле E → {\displaystyle {\vec {E}}}

a → = q ℏ 2 ⋅ d 2 ε d k 2 E → , {\displaystyle {\vec {a}}={{q} \over {\hbar ^{2}}}\cdot {{d^{2}\varepsilon } \over {dk^{2}}}{\vec {E}},}

где a → {\displaystyle {\vec {a}}} - ускорение, q - заряд частицы, ℏ {\displaystyle \hbar } - редуцированная постоянная Планка , - волновой вектор , который определяется из импульса как k → = p → / ℏ , {\displaystyle {\vec {k}}={\vec {p}}/\hbar ,} энергия частицы ε (k) {\displaystyle \varepsilon (k)} связана с волновым вектором k {\displaystyle k} законом дисперсии . В присутствии электрического поля на электрон действует сила F → = q E → . {\displaystyle {\vec {F}}=q{\vec {E}}.} . Отсюда можно получить выражение для эффективной массы m ∗ : {\displaystyle m^{*}:}

m ∗ = ℏ 2 ⋅ [ d 2 ε d k 2 ] − 1 . {\displaystyle m^{*}=\hbar ^{2}\cdot \left[{{d^{2}\varepsilon } \over {dk^{2}}}\right]^{-1}.}

Для свободной частицы закон дисперсии квадратичен, и таким образом эффективная масса является постоянной и равной массе покоя. В кристалле ситуация более сложна и закон дисперсии отличается от квадратичного. В этом случае использовать понятие массы можно только вблизи экстремумов кривой закона дисперсии, где эта функция может быть аппроксимирована параболой и, следовательно, эффективная масса не зависит от энергии.

Эффективная масса зависит от направления в кристалле и является в общем случае тензором.

Те́нзор эффекти́вной ма́ссы - термин физики твёрдого тела , характеризующий сложную природу эффективной массы квазичастицы (электрона , дырки) в твёрдом теле. Тензорная природа эффективной массы иллюстрирует тот факт, что в кристаллической решётке электрон движется не как частица с массой покоя , а как квазичастица, у которой масса зависит от направления движения относительно кристаллографических осей кристалла. Эффективная масса вводится, когда имеется параболический закон дисперсии , иначе масса начинает зависеть от энергии. В связи с этим возможна отрицательная эффективная масса .

По определению эффективную массу находят из закона дисперсии ε = ε (k →) {\displaystyle \varepsilon =\varepsilon ({\vec {k}})}

m i j − 1 = 1 ℏ 2 k ∂ ε ∂ k δ i j + 1 ℏ 2 (∂ 2 ε ∂ k 2 − 1 k ∂ ε ∂ k) k i k j k 2 , (1) {\displaystyle m_{ij}^{-1}={\frac {1}{\hbar ^{2}k}}{\frac {\partial \varepsilon }{\partial k}}\delta _{ij}+{\frac {1}{\hbar ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\varepsilon }{\partial k^{2}}}-{\frac {1}{k}}{\frac {\partial \varepsilon }{\partial k}}\right){\frac {k_{i}k_{j}}{k^{2}}},\qquad (1)}

где k → {\displaystyle {\vec {k}}} - волновой вектор , δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} - символ Кронекера , ℏ {\displaystyle \hbar } - постоянная Планка .

Эффективная масса для некоторых полупроводников

В нижеприведённой таблице указана эффективная масса электронов и дырок для полупроводников - простых веществ IV группы и бинарных соединений

Особенности движения электронов в кристалле обусловлены их взаимодействием с кристаллической решеткой. Оказывается, что движение отдельного электрона в кристалле можно описывать тем же уравнением, что и для свободной частицы, т.е. в виде второго закона Ньютона, в котором учитываются только внешние по отношению к кристаллу силы.

Рассмотрим движение электрона в кристалле под действием внешнего электрического поля. Внешнее электрическое поле приводит к увеличению скорости электрона и, следовательно, его энергии. Поскольку электрон в кристалле - это микрочастица, описываемая волновой функцией, то энергия электрона зависит от его волнового вектора. Зависимость между этими двумя характеристиками электрона в кристалле определяется дисперсионным соотношением, которое в свою очередь зависит от строения энергетических зон. Поэтому при расчете движения электрона в кристалле необходимо исходить из закона дисперсии.

Свободный электрон описывается монохроматической волной де Бройля и электрон в этом состоянии нигде не локализован. В кристалле же электрону необходимо сопоставить группу волн де Бройля с различными значениями частот и волновых векторов k . Центр такой группы волн перемещается в пространстве с групповой скоростью

Эта групповая скорость соответствует скорости перемещения электрона в кристалле.

Задачу о движении электрона будем решать для одномерного случая. Увеличение энергии электрона dE под действием внешней силы F равно элементарной работе dA , которую совершает внешняя сила за бесконечно малый промежуток времени dt :

Учитывая, что для электрона как микрочастицы , имеем следующее выражение для групповой скорости

Подставляя полученное выражение для групповой скорости в формулу (2.16), получим

Распространяя этот результат на трехмерный случай, получим векторное равенство

Как видно из этого равенства, величина ћ k для электрона в кристалле изменяется со временем под действием внешней силы точно так же, как импульс частицы в классической механике Несмотря на это, ћ k нельзя отождествить с импульсом электрона в кристалле, поскольку компоненты вектора k определены с точностью до постоянных слагаемых вида (здесь a - параметр кристаллической решетки, n i =1, 2, 3, ...). Однако в пределах первой зоны Бриллюэна ћ k обладает всемисвойствами импульса. По этой причине величину ћ k называют квазиимпульсом электрона в кристалле.

Вычислим теперь ускорение a , приобретаемое электроном под действием внешней силы F . Ограничимся, как и в предыдущем случае, одномерной задачей. Тогда

При вычислении ускорения учтено, что энергия электрона является функцией времени . Учитывая, что , получим

(2.18)

Сравнивая выражение (2.18) со вторым законом Ньютона, видим, что электрон

в кристалле движется под действием внешней силы так, как двигался бы под действием той же силы свободный электрон, если бы он обладал массой

(2.19)

Величину m * называют эффективной массой электрона в кристалле .

Строго говоря, эффективная масса электрона никакого отношения к массе свободного электрона не имеет. Она является характеристикой системы электронов в кристалле в целом . Вводя понятие эффективной массы, мы реальному электрону в кристалле, связанному взаимодействиями с кристаллической решеткой и другими электронами, сопоставили некую новую свободную “микрочастицу”, обладающую лишь двумя физическими параметрами реального электрона - его зарядом и спином. Все остальные параметры - квазиимпульс, эффективная масса, кинетическая энергия и т.д. - определяются свойствами кристаллической решетки. Такую частицу часто называют квазиэлектроном, электроном-квазичастицей, носителем отрицательного заряда или носителем заряда n-типа , чтобы подчеркнуть ее отличие от реального электрона.

Особенности эффективной массы электрона связаны с видом дисперсионного соотношения электрона в кристалле (рис.2.10). Для электронов, располагающихся у дна энергетической зоны, дисперсионное соотношение можно приблизительно описать параболическим законом

Вторая производная , следовательно, эффективная масса положительная. Такие электроны ведут себя во внешнем электрическом поле подобно свободным электронам: они ускоряются под действием внешнего электрического поля. Отличие таких электронов от свободных состоит в том, что их эффективная масса может существенно отличаться от массы свободного электрона. Для многих металлов, в которых концентрация электронов в частично заполненной зоне мала и они располагаются вблизи ее дна, электроны проводимости ведут себя подобным образом. Если к тому же эти электроны слабо связаны с кристаллом, то их эффективная масса незначительно отличается от массы покоя реального электрона.

Для электронов, находящихся у вершины энергетической зоны (рис.2.10), дисперсионное соотношение можно приблизительно описать параболой вида

и эффективная масса является величиной отрицательной. Такое поведение эффективной массы электрона объясняется тем, что он при своем движении в кристалле обладает не только кинетической энергией поступательного движения Е к , но и потенциальной энергией его взаимодействия с кристаллической решеткой U . Поэтому часть работы A внешней силы может перейти в кинетическую энергию и изменить ее на величину E к , другая часть - в потенциальную U .

Понятие эффективной массы электрона является лишь удобным способом описания движения электрона, находящегося в периодическом поле кристалла, под действием внешнего электрического поля. Сама же эффективная масса не является массой в обычном смысле этого слова. Она не определяет ни запаса энергии, ни инерционных, ни гравитационных свойств электрона. По величине она может быть как больше, так и меньше истинной массы электрона. Более того, m * может быть как положительной, так и отрицательной. Эффективная масса является лишь коэффициентом пропорциональности в соотношении (5. 15), связывающем внешнюю силу с ускорением движения электрона. Она имеет смысл лишь до тех пор, пока энергия электрона ε может быть выражена как квадратичная функция волнового числа. В этом случае m * сохраняется постоянной. Из рис. 5. 7 видно, что это имеет место при k , отвечающем дну и вершине энергетической зоны. В первом случае m * 7 видно, что это имеет место при k , отвечающем дну и вершине энергетической зоны. >0, во втором m * <0. Вблизи же точек перегиба m * перестает быть аналогом массы. К счастью, практически всегда приходится иметь дело с электронами, располагающимися или дна зоны или у ее вершины. К этим электронам вполне применимо понятие эффективной массы, чем и оправдывается введение этого понятия.

Характерной особенностью эффективной массы в кристалле является то, что ее величина зависит не только от состояния электрона (положения в энергетической зоне), но и от направления движения электрона. Зависимость эффективной массы от направления движения электрона объясняется анизотропией кристалла: при движении электрона силы взаимодействия его с кристаллической решеткой различны в различных кристаллографических направлениях. Причем в твердом теле с сильно анизотропной кристаллической структурой m * может быть положительной для одних направлений и отрицательной для других.

Понятие о дырках

Предположим, что данная энергетическая зона целиком заполнена электронами (рис. 5.8 а). Электроны, располагающиеся на верхних уровнях зоны, обладают отрицательной эффективной массой (ускоряются в направлении, противоположном действию внешней силы) и отрицательным зарядом - е. Удалим с одного из таких уровней электрон (5.8,б ). Так как зона была целиком заполнена отрицательно заряженными электронами, то освобожденный уровень, не укомплектованный электроном, будет вести себя как частица, обладающая положительным зарядом, численно равным заряду электрона + е. Кроме того, так как электроны верхних уровней зоны обладают отрицательной эффективной массой, то освобожденный уровень будет вести себя как частица, обладающая положительной эффективной массой, численно равной эффективной массе электрона, занимающего этот уровень. Таким образом, освобождение одного из верхних уровней занятой энергетической зоны эквивалентно появлению в ней частицы, обладающей положительным зарядом и положительной эффективной массой. Такую фиктивную частицу называют дыркой.

Дырки играют исключительно важную роль в определении электрических свойств твердых тел. В телах, имеющих почти целиком заполненные энергетические зоны, электрический ток возникает в результате направленного движения дырок. Такой дырочной проводимостью обладает, в частности, ряд металлов. Но особенно большое значение дырочный механизм проводимости имеет в полупроводниках.

Заполнение зон электронами

Каждая энергетическая зона содержит, как мы выяснили, ограниченное число энергетических уровней. В соответствии с принципом Паули на каждом таком уровне может разместиться не более двух электронов с противоположно направленными спинами. При ограниченном числе электронов, содержащихся в твердом теле, заполненными окажутся лишь несколько наиболее низких энергетических зон.

Рассмотрим более подробно процесс заполнения зон электронами, когда эти зоны не перекрываются. Зависимость энергии электрона от волнового числа для этого случая изображена на рис. 5. 6. При небольших значениях k (вблизи начала координат) кривая ε (k ) представляет собою параболу :

Вследствие этого электроны, заполняющие энергетические уровни, располагающиеся у дна зоны, ведут себя как свободные электроны с эффективной массой m *. Поэтому их распределение по энергиям, как и распределение свободных электронов, подчиняется статистике Ферми - Дирака. Именно число электронов в единице объема твердого тела d п, энергия которых заключена в пределах от ε до ε + d ε равно

(5.18)

где– функция Ферми –Дирака, µ - химический потенциал, отнесенный к одной частице,k Б – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура.

Подробнее функция распределения Ферми –Дирака будет обсуждаться позже. Пока лишь отметим, что в системе электронов металла при абсолютном нуле он совпадает с уровнем Ферми (µ = ε F ). Но неверно считать уровень химического потенциала уровнем Ферми во всех остальных случаях. Уровнем Ферми называют реальное одноэлектронное состояние, которым заканчивается заполнение энергетических состояний при абсолютном нуле. В чистом полупроводнике уровень Ферми совпадает с потолком валентной зоны. А химический потенциал при малых температурах лежит вблизи центра запрещенных энергий между валентной зоной и зоной проводимости.

При абсолютном нуле для состояний с ε < µ f (ε ) = 1 и

(5.19)

На рис. 5.9 представлена кривая зависимости числа электронов в зоне от энергии ε . Участок О d этой кривой отвечает формуле (5.19) и соответствует распределению по энергиям свободных электронов с эффективной массой т*.

По мере заполнения зоны квадратичная зависимость энергии электронов от волнового числа, характерная для свободных электронов, выполняется все хуже и хуже (рис.5.6), и кривая зависимости п от ε отходит от параболы, выраженной уравнением (5. 19).

Эффективная масса. Потенциальное поле решетки изменяет характер движения электрона в кристалле по сравнению с его движением в свободном пространстве. Поведение свободного электрона описывается волной де Бройля и импульс электрона связан с волновым вектором соотношением . Поэтому закон дисперсии для свободного электрона носит квадратичный характер

(4.36)

Если на электрон не действуют внешние силы, то его энергия не изменяется и, следовательно, сохраняется его состояние.

Рассмотрим движение электрона в кристалле, на который действует внешняя сила Скорость электрона связана с энергией соотношением

. (4.37)

Ускорение электрона равняется

(4.38)

Воспользовавшись классическим законом сохранения энергии получим

Подстановка (4.37) в (4.39) приводит к выражению, аналогичному второму закону Ньютона

(4.40)

(4.41)

Эта величина называется эффективной массой электрона и учитывает влияние периодической кристаллической решетки на движение электрона в кристалле под действием внешних сил. Эффективная масса не отражает ни инерциальных, ни гравитационных свойств электрона, а является некоторым удобным коэффициентом, с помощью которого можно рассматривать движение электрона в кристалле под действием внешней силы как свободного, то есть сложные законы движения электронов в кристалле свести к законам, которые по форме совпадают с законами классической механики. По величине эффективная масса может быть больше и меньше действительной массы электрона, а по знаку – положительной и отрицательной.

Форма изоэнергетической поверхности вблизи экстремальных точек

Если рассматривать закон дисперсии в -пространстве, то уравнение определяет в этом пространстве некоторую поверхность, которая называется изоэнергетической поверхностью или поверхностью постоянной энергии. Форма этой поверхности, которая зависит от энергетического спектра электрона в кристалле, определяет многие физические свойства металлов и полупроводников.

Определим форму изоэнергетической поверхности вблизи экстремальных точек зоны, воспользовавшись решением (4.33). Для примитивных решеток с параметрами выражение (4.33) можно привести к виду

Здесь учтено взаимодействие только с шестью ближайшими соседними атомами, то есть Так как

(4.43)

Представим в виде ряда Тейлора вблизи экстремальных точек первой зоны Бриллюэна. Ввиду того, что в экстремуме то, используя разложение косинуса по малому параметру, получим из (4.42) для центра зоны ()

(4.44)

и для края зоны ()

. (4.45)

Здесь коэффициенты представляют собой диагональные элементы тензора обратной эффективной массы

(4.46)

Для кристаллов, которые обладают кубической симметрией, все три главные оси эквивалентны и тензор обратной эффективной массы вырождается в скаляр .

Из (4.46) видно, что знак эффективной массы зависит от знака обменного интеграла При в точках находится максимум энергии и эффективная масса отрицательна, а в точках минимум энергии и эффективная масса положительная. При в точках находится максимум энергии и а в точках =0 – минимум энергии и

Обменное взаимодействие сильнее для верхних энергетических зон в результате большего перекрывания волновых функций. Следовательно, эффективная масса, которая обратно пропорциональна обменному взаимодействию, будет уменьшаться с ростом номера зоны.

Ширина разрешенных зон определяется разностью

Величина запрещенной зоны будет определяться разностью между минимальным и максимальным значениями энергии двух соседних зон (4.44 – 4.45), то есть в основном разностью соседних энергетических уровней электрона в изолированном атоме, которая уменьшается с увеличением энергии. Следовательно, с увеличением энергии ширина разрешенных зон увеличивается, а запрещенных зон уменьшается .

Как видно из (4.44 – 4.45), закон дисперсии носит квадратичный характер, отклонения от него обусловлены необходимостью учета более высоких степеней разложения в ряд Тейлора.

Понятие о дырках. В электрическом поле на электрон действует сила, равная

Для электрона, который находится вблизи потолка энергетической зоны, эффективная масса отрицательна и ускорение, обусловленное внешней силой, будет равняться

(4.49)

Следовательно, такой носитель заряда ведет себя как частица с положительным зарядом и положительной эффективной массой.

Запишем выражение для плотности тока, создаваемого электронами почти заполненной зоны

(4.50)

где – скорость электрона с волновым вектором и спином . Суммирование проводится по всем заполненным состояниям зоны Бриллюэна.

Ток, который переносится электронами полностью заполненной зоны, равняется нулю, потому что средняя скорость электронов для такой зоны равняется нулю. Поэтому (4.50) можно переписать в эквивалентной форме

(4.51)

Следовательно, ток, создаваемый электронами, которые заполняют определенную совокупность состояний в зоне, эквивалентный току, который могли бы создать частицы с положительным зарядом при заполнении ими вакантных состояний. Таким образом, хотя единственными реальными носителями заряда являются электроны, в некоторых случаях для удобства можно считать, что ток полностью переносится положительными частицами, которые заполняют все те состояния в зоне, которые не заняты электронами. Такие фиктивные частицы называют дырками.

Перечислим физические свойства дырки.

В физике твёрдого тела, эффективной массой частицы называется динамическая масса, которая появляется при движении частицы в периодическом потенциале кристалла. Можно показать, что электроны и дырки в кристалле реагируют на электрическое поле так, как если бы они свободно двигались в вакууме, но с некой эффективной массой, которую обычно определяют в единицах массы покоя электрона me (9.11×10−31 кг). Она отлична от массы покоя электрона. Эффективная масса определяется из аналогии со вторым законом Ньютона помощью квантовой механики можно показать, что для электрона во внешнем электрическом полеE: де a - ускорение, - постоянная Планка, k - волновой вектор, который определяется из импульса как k =, ε(k) - закон дисперсии, который связывает энергию с волновым вектором k. В присутствии электрического поля на электрон действует сила, где заряд обозначен q. Отсюда можно получить выражение для эффективной массы m * :

Для свободной частицы закон дисперсии квадратичен, и таким образом эффективная масса является постоянной и равной массе покоя. В кристалле ситуация более сложна и закон дисперсии отличается от квадратичного. В этом случае только в экстремумах кривой закона дисперсии, там где можно аппроксимировать параболой можно использовать понятие массы. Эффективная масса зависит от направления в кристалле и является в общем случае тензором. Те́нзор эффекти́вной ма́ссы - термин физики твёрдого тела, характеризующий сложную природу эффективной массы квазичастицы (электрона, дырки) в твёрдом теле. Тензорная природа эффективной массы иллюстрирует тот факт, что в кристаллической решётке электрон движется не как частица с массой покоя, а как квазичастица, у которой масса зависит от направления движения относительно кристаллографических осей кристалла. Эффективная масса вводится, когда имеется параболический закон дисперсии, иначе масса начинает зависеть от энергии. В связи с этим возможна отрицательная эффективная масса. По определению эффективную массу находят из закона дисперсии Где- волновой вектор,- символ Кронекера,- постоянная Планка. Электрон. Электро́н - стабильная, отрицательно заряженная элементарная частица, одна из основных структурных единиц вещества. Является фермионом (т.е. имеет полуцелый спин). Относится к лептонам (единственная стабильная частица среди заряженных лептонов). Из электронов состоят электронные оболочки атомов, где их число и положение определяет почти все химические свойства веществ. Движение свободных электронов обусловливает такие явления, как электрический ток в проводниках и вакууме. Электрон как квазичастица. Если электрон находится в периодическом потенциале, его движение рассматривается как движение квазичастицы. Его состояния описываются квазиволновым вектором. Основной динамической характеристикой в случае квадратичного закона дисперсии является эффективная масса, которая может значительно отличаться от массы свободного электрона и в общем случае является тензором. Свойства Заряд электрона неделим и равен −1,602176487(40)×10−19 Клкг - масса электрона.Кл - заряд электрона.Кл/кг - удельный заряд электрона.спин электрона в единицахСогласно современным представлениям физики элементарных частиц, электрон неделим и бесструктурен (как минимум до расстояний 10−17 см). Электрон участвует в слабом, электромагнитном и гравитационном взаимодействиях. Он принадлежит к группе лептонов и является (вместе со своей античастицей, позитроном) легчайшим из заряженных лептонов. До открытия массы нейтрино электрон считался наиболее лёгкой из массивных частиц - его масса примерно в 1836 раз меньше массы протона. Спин электрона равен 1/2, и, таким образом, электрон относится к фермионам. Как и любая заряженная частица со спином, электрон обладает магнитным моментом, причем магнитный момент делится на нормальную часть и аномальный магнитный момент. Иногда к электронам относят как собственно электроны, так и позитроны (например, рассматривая их как общее электрон-позитронное поле, решение уравнения Дирака). В этом случае отрицательно заряженный электрон называют негатроном, положительно заряженный - позитроном. Находясь в периодическом потенциале кристалла, электрон рассматривается как квазичастица, эффективная масса которой может значительно отличаться от массы электрона. Свободный электрон не может поглотить фотон, хотя и может рассеять его (см. эффект Комптона). Дырка. Ды́рка - квазичастица, носитель положительного заряда, равного элементарному заряду в полупроводниках. Определение по ГОСТ 22622-77: Незаполненная валентная связь, которая проявляет себя как положительный заряд, численно равный заряду электрона. Понятие дырки вводится в зонной теории для описания электронных явлений в не полностью заполненной электронами валентной зоне. В электронном спектре валентной зоны часто возникает несколько зон, различающихся величиной эффективной массы и энергетическим положением (зоны легких и тяжёлых дырок, зона спин-орбитально отщепленных дырок).