L предельное. Анализ производственной функции Кобба-Дугласа

Тема III. Теория поведения потребителя

Понятие полезности. Количественный и порядковый подходы к анализу полезности.

Количественный подход: общая и предельная полезность; I и II законы Госсена. Особенности потребительского выбора.

Порядковый подход: аксиомы потребительских предпочтений; кривые безразличия, их свойства и виды для различных категорий товаров; предельная норма замещения; бюджетное ограничение; равновесие потребителя.

Связь порядкового и количественного подходов.

Реакция потребителя на изменение цен и дохода: кривые “цена-потребление”, ”доход-потребление”, кривые Энгеля. Эффекты дохода и замещения – подходы Хикса и Слуцкого.

Полезность (Utility) – уровень удовлетворения, получаемый при потреблении благ.

Количественный [кардиналистский] подход к анализу полезности: потребитель способен поставить в соответствие каждому набору благ получаемый уровень полезности (абсолютная шкала измерения); полезность измеряется в условных единицах (ютилах).

Порядковый [ординалистский] подход к анализу полезности: потребитель способен упорядочить все наборы по уровню получаемой полезности; конкретное значение полезности, соответствующее потребительскому набору, не имеет значения (относительная шкала измерения); полезность не имеет единиц измерения.

Раздел 2.

Количественный подход

Функция полезности : U = F(Q A ,Q B , … ,Q Z)

U – уровень полезности, Q A ,Q B ,…,Q Z – объемы потребления в единицу времени благ A, B, … Z соответственно (потребительский набор).

Общая полезность : TU(Q) (Total Utility) – общий уровень полезности, получаемый при потреблении некоторого количества благa Q .

Предельная полезность : MU (Marginal Utility) – прирост полезности, получаемый от потребления дополнительной (последней) единицы блага.

для дискретно заданной функции TU(Q)

для непрерывной и дифференцируемой функции TU(Q)

-

для функции TU(Q A ,Q B)

Геометрически : MU(Q 0) = tg a 0

Предположения:

- потребитель располагает ограниченным доходом (I) , который весь расходует;

- потребитель рационален, т.е. стремится максимизировать полезность;

- цены благ (P) заданы и не зависят от количеств (Q) , потребляемых отдельным потребителем;

- блага бесконечно делимы.

I закон Госсена

Часть 1 (принцип убывающей предельной полезности):

При увеличении объема потребления блага полезность, получаемая от каждой дополнительной единицы этого блага (предельная полезность), снижается.

Принцип является одной из причин действия закона спроса: получая все меньшую и меньшую полезность от каждой дополнительной единицы блага, потребитель готов платить за нее все меньшую и меньшую цену.

Часть 2:

Полезность, получаемая от одной и той же единицы блага, снижается при каждом последующем акте потребления.

Равновесие [оптимум] потребителя – состояние, в котором потребитель тратит весь свой доход и получает максимальную полезность. Стремясь достичь состояния равновесия, потребитель оценивает не только получаемую полезность, но и цены благ.

II закон Госсена

(условие равновесия потребителя в количественной теории полезности)

Для потребителя, находящегося в состоянии равновесия, полезность, получаемая от расходов последней денежной единицы, одинакова, независимо от того, на какое из благ она была израсходована.

Замечание 1 :

l - предельная полезность денег. Показывает, какую полезность приносит потребителю дополнительная денежная единица, вложенная в любое из благ.

Замечание 2 : Для потребителя, находящегося в состоянии равновесия, отношение предельной полезности двух благ равно соотношению их цен.

Замечание 3 : При изменении в одинаковой пропорции дохода и цен на все товары потребительский выбор не изменится (т.к. не изменится условие бюджетного ограничения I = P 1 ×Q 1 + P 2 ×Q 2 ).

6-1п. В краткосрочном периоде фирма может изменять ве­личину используемых трудовых ресурсов, но не может влиять на величину используемого капитала. Таблица 6-1 показывает, как может изменяться выпуск продукции вследствие измене­ния объемов применяемого труда.

Таблица 6-1

а) Определите средний продукт труда (AP L ) и предельный продукт труда (MP L ). Полученные результаты впишите в таб­лицу.

б) Предположим, что менеджер фирмы решил заменить старое оборудование новым, более эффективным. Изменится ли при этом положение кривых AP L и MP L . Аргументируйте ваш ответ.

Решение

а) Величина среднего продукта переменного фактора (АР ), в данном случае труда, определяется по формуле: А величина предельного продукта переменного фактора (МР ) (труда) рассчитывается следующим образом:

б) Положение кривых AP L и MP L изменится, так как каждая единица труда будет приносить больший результат. В итоге кривые сместятся вверх и, возможно, изменят свою форму.

Таблица 6-2

6-2п. Максимизировать выпуск при фиксированных за­тратах, если на сегодня положение представлено в таблице 6-3.

Таблица 6-3

L	K	Р L	Р К	ТС	Q(L, К)
6	8	10	5	100	LК+2L+4К

а) в мгновенном периоде;

б) в краткосрочном периоде при фиксированных затратах капитала и неизменных ценах;

в) в долгосрочном периоде.

Решение

а) В мгновенном периоде изменить ничего нельзя, и потому максимум совпадает с существующим положением:

LК+2L+4К=48+12+32=92.

б) В краткосрочном периоде при фиксированных затратах капитала и неизменных ценах результат будет, очевидно, тем же: Q=Qmах=92.

в) В долгосрочном периоде начинается настоящая оптими­зация, так как подвижными становятся и затраты труда, и затраты капитала. Необходимо решить задачу на максимум функции

LК+2L+4К → Мax при 10L+5К=100.

Подставим вытекающее из ограничения выражение К=20-2L в максимизируемую функцию и получим стандартную математическую задачу на максимум квадратичной функции L(20-2L)+40-8L+2L . Приравняв производную этой квадратичной функции к нулю, получим 14-4L=0 , т. е. L=3,5 ; К=13 .

В результате Qmax=104,5 .

Ответ : При условиях а) и б) положение останется без изменений,

Q=Qmax=92 .

в) L=3,5, К=13, Qmax=104,5 .

6-3п. Найдите точки, принадлежащие изокванте с уровнем выпуска, равным 100 , по данным о производственной фун­кции Q(L, К) , представленным в таблице 6-4.

Таблица 6-4

Решение

Изокванта Q=100 содержит точки, приведенные в таблице 6-5.

Таблица 6-5

L
К

Ответ : Изокванте с уровнем выпуска 100 принадле­жат точки:

(L=10, К=50), (L=20, К=30), (L=30, К=20), (L=50, К=10).

6-4п. Производственная функция Q=5L 0,5 K, где L – расход труда, К – расход капитала. Найдите предельный продукт капитала, если рас­ход труда равен 4, расход капитала равен 7.

Решение

В теории производства традиционно используется двухфакторная производственная функция вида Q=f(L, К) и чаще всего так называе­мая функция Кобба-Дугласа,

В общем виде она записывается следующим образом:

Q=a 0 L а1 K а2 ,

где L – затраты труда; К – затраты капитала; а 0 – коэффициент про­порциональности; a 1 – коэффициент эластичности выпуска по труду; а 2 – коэффициент эластичности выпуска по капиталу.

Коэффициенты а 1 и а 2 характеризуют относительный прирост выпуска продукции на единицу относительного прироста затрат труда (L ) и капитала (К ) соответственно.

Предельный продукт переменного фактора производства, в данном случае капитала (МР К ) – это дополнительный выпуск продукции, вызванный применением одной дополнительной единицы переменного ресурса (капитала):

Если Q=5L 0,5 K и L=4 , а К=7 , то МР К = 5L 0, 5 = 5 х 2 = 10.

Ответ : МР К = 10.

6-5п. Производственная функция Q=5L 0,8 K 0,2 . Издержки производителя равны 30. Цена труда 4, капитала 5. Найдите равновесный расход ресурсов.

Решение

а) MRTS=0,81L -0,2 К 0,2 /0,2L 0,8 K -0,8 , или MRTS=4K/L ;

б) в точке равновесия 4K/L=4/5 ;

в) запишем уравнение изокосты: 4L+5К=30 ;

г) составим систему уравнений, взятых из пунктов 2 и 3,

ее реше­ние: L=6, К=1,2 – равновесный расход ресурсов.

Ответ : L=6, К=1,2.

6-6п. Подсчитайте средний и предельный продукт фирмы, если известны следующие данные (таблица 6-6):

Таблица 6-6

Когда начинает действовать в данном случае убывающая эко­номия от масштаба?

Решение

Если число рабочих – это затраты труда L ,

а совокупный продукт – Q , то AP L =Q/L; MP L =(Q i -Q i -1).

Таблица 6-7

L
Q
AP L			33,3
MP L

Экономия от масштаба начинает снижаться после того, как число работников превысит 2.

Ответ : убывающая эко­номия от масштаба начинает действовать после найма второго работника.

6-7п. Фирма использует в производстве товара капитал (К ) и труд (L ), при этом МР К =8 , a MP L =20 . Цены единиц факторов: Р к =4 ; P L =10 . Является ли оп­тимальным использование ресурсов фирмой с точки зрения минимизации издержек?

Решение

Правило мини­мизации издержек для каждого заданного объема выпуска продукции следующее: оп­тимальное сочетание факторов, используемых в процессе производ­ства, достигается тогда, когда последний затраченный рубль на покуп­ку каждого фактора дает одинаковый прирост общего выпуска продук­ции. То есть

Ответ : использование ресурсов фирмой является оптимальным.

6-8п. Производственная функция фирмы равна Q=K 1/4 L 3/4 . Цена капитала равна 4 тыс. руб. Цена труда равна 12 тыс. руб. Какое количество капитала и труда должна иметь фирма для выпуска 300 тыс. единиц?

Решение

K 1/4 L 3/4 =300.

Решаем систему и получаем: К = 300; L = 300.

Ответ: К = 300; L = 300.

6-9п. Почему средний продукт труда продолжает увеличи­ваться после прохождения точки начала уменьшения предельной производительности?

Решение

6-10п. Предположим, что фирма увеличивает капитал со 100 до 150 еди­ниц, труд – с 400 до 600 единиц. Выпуск продукции при этом воз­растает с 300 до 350 единиц. Какова в данном случае будет отдача от масштаба (возрастающая, постоянная или убывающая)?

Решение

Эффект масштаба проявляется в снижении долговременных средних из­держек производства на единицу продукции. Первоначальное соот­ношение труда и капитала составляло: 400/100 = 4/1.

Затем капитал увеличился на

(150 - 100)/100 = 1/2; труд на (600 - 400)/400 = 1/2.

Выпуск продукции возрос на (350 - 300)/300 = 1/6.

То есть имеет место отрицательный эффект масштаба (рис. 33.).

Ответ : отрицательный эффект масштаба.

6-11п. В таблице 6-10 представлена основная информа­ция о производстве фирмы при найме переменно­го количества труда и фиксированном количестве капитала.

а) Рассчитайте предельный продукт труда (МР L ).

б) Если продукт может быть продан на рын­ке по цене 5 долл. за единицу, рассчитайте TR и впишите в таблицу 6-8. Рассчитайте также и впишите значения MRP L .

в) Начертите кривую MRP L фирмы. По верти­кальной оси откладывайте значение MRP L в долл., а по горизонтальной – занятость. Нанесите пре­дельные значения шкалы на равном расстоянии от средних точек в интервалах шкалы горизонтальной оси.

Таблица 6-10

Количество труда (L ), чел.	Совокупный выпуск (Q ), шт.	Предельный продукт труда (МР L ), ед.	Совокупный доход (TR ), долл.	MRP L ), долл.

г) Используя полученные данные, заполните графу спроса фирмы на труд в таблицу 6-11. Есть ли какая-либо разница между кривой MRP L фирмы и кривой спроса на труд?

Таблица 6-11

Решение

Величина предельного продукта труда (МР L ) рассчитывается по формуле:

А совокупный доход по следующей формуле:

где Р – цена продукта (долл.), Q – совокупный выпуск (шт.).

Предельная доходность труда определяется следующим образом:

Заполним таблицу 6-12 целиком.

Таблица 6-12

Количество труда, чел.	Совокупный выпуск, шт.	Предельный продукт труда (МР L ), ед.	Совокупный доход (TR ), долл.	Предельная доходность труда (MRP L ), долл.
		–		–

в) Кривая MRP L фирмы приведена на рисунке 34.

Отрицательный наклон кривой MRP L связан с действием закона убывающей предельной производительности фактора, а ее расположение определяется уровнем предельной производительности фактора (MP L) и ценой произведенного продукта (Р).

г) Кривая спроса фирмы на один переменный фактор (L (MRP L), так как любая точка на данной кривой показывает число занятых, используемых фирмой при каждом заданном уровне ставки заработной платы (w ).

Таблица 6-13

Ответ : а,б) МР L : 17, 15, 13, 11, 9, 7, 5, 3, 1;

TR : 0, 85, 160, 225, 280, 325, 360, 385, 400, 405;

MRP L : 85, 75, 65, 55, 45, 35, 25, 15, 5.

г) D L : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

кривая спроса фирмы на один переменный фактор (L ) совпадает с кри­вой его предельного продукта в денежной форме (MRP L) .

Общий (совокупный) продукт (Total product , TP ) - это суммарный объем выпуска продукции, произведенный с использованием некоторого количества переменного фактора производства.

Общий продукт переменного фактора L может быть показан следующей производственной функцией, отражающая отношение между общим выпуском продукции и количеством фактора L , при постоянном количестве фактора K :

Q\;=\;f(L),\;при\;K\;-\;const.

Предельный продукт (Marginal product , MP ) - величина, показывающая изменение объема выпуска продукции, в результате использования дополнительной единицы какого-либо фактора производства при неизменном количестве остальных.

MP_L\;=\;\frac{\Delta Q}{\Delta L},\;где

\Delta Q - изменение объема выпуска продукции;
\Delta L - изменение количества фактора L .

Средний продукт (Average product , AP ) - величина, показывающая количество объема продукции, приходящееся на единицу переменного фактора производства. Определяется путем деления объема выпускаемой продукции на количество используемого переменого фактора L :

AP_L\;=\;\frac QL,\;где

Q - объем выпускаемой продукции;
L - количество переменного фактора производства L .

Средний продукт характеризует производительность переменного фактора производства, поэтому очень часто средний продукт труда называют производительностью труда.

На графиках по горизонтальной оси откладывается количество фактора производства (количество труда L в данном случае), а по вертикальной - количество общего, предельного и среднего продуктов фактора L . На кривых общего и предельного продукта окладываются три точки (A,\;B,\;C) иллюстрирующие три стадии в их тенденции.

На отрезке 0A происходит ускорение роста общего продукта, т.к. на этой стадии предельный продукт имеет тенденцию к увеличению. Это означает, что каждая дополнительная единица труда L увеличивает объем выпуска на еще большую величину чем предыдущая. Точка A иллюстрирует максимальную величину предельного продукта.

На отрезке AC происходит замедление роста общего продукта, т.к. предельный продукт начинает снижаться, но еще в пределах положительного значения. Это означает, что каждая дополнительная единица труда L увеличивает объем выпуска на меньшую величину чем предыдущая. Поэтому на данном отрезке происходит снижение в росте общего продукта. Точка B показывает такую величину общего продукта, при котором предельных продукт равен среднему продукту (MP\;=\;AP) .

Точка C иллюстрирует такую ситуацию, когда общий продукт достигает своего максимума, а каждая дополнительная единица труда не оказывает воздействие на объем производства, т.е. предельный продукт равен 0 (MP_L\;=\;0) . Так как после точки C предельный продукт продолжая снижаться принимает отрицательное значение, то общий продукт соответственно начинает сокращаться.

Рассмотренная выше тенденция кривых общего и предельного продукта называется законом убывающей предельной производительности факторов производства.

Общий (совокупный) продукт (Total product , TP ) - это суммарный объем выпуска продукции, произведенный с использованием некоторого количества переменного фактора производства.

Общий продукт переменного фактора L может быть показан следующей производственной функцией, отражающая отношение между общим выпуском продукции и количеством фактора L , при постоянном количестве фактора K :

Q = f (L), при K - const

Предельный продукт (Marginal product , MP ) - величина, показывающая изменение объема выпуска продукции, в результате использования дополнительной единицы какого-либо фактора производства при неизменном количестве остальных.

MP L = Δ Q / Δ L

где ΔQ - изменение объема выпуска продукции; ΔL - изменение количества фактора L .

Средний продукт (Average product , AP ) - величина, показывающая количество объема продукции, приходящееся на единицу переменного фактора производства. Определяется путем деления объема выпускаемой продукции на количество используемого переменого фактора L :

AP L = Q / L

где Q - объем выпускаемой продукции; L - количество переменного фактора производства L .

Средний продукт характеризует производительность переменного фактора производства, поэтому очень часто средний продукт труда называют производительностью труда.

На графиках по горизонтальной оси откладывается количество фактора производства (количество труда L в данном случае), а по вертикальной - количество общего, предельного и среднего продуктов фактора L . На кривых общего и предельного продукта окладываются три точки (A , B , C ) иллюстрирующие три стадии в их тенденции.

На отрезке ОА происходит ускорение роста общего продукта, т.к. на этой стадии предельный продукт имеет тенденцию к увеличению. Это означает, что каждая дополнительная единица труда L увеличивает объем выпуска на еще большую величину чем предыдущая. Точка А иллюстрирует максимальную величину предельного продукта.

На отрезке АС происходит замедление роста общего продукта, т.к. предельный продукт начинает снижаться, но еще в пределах положительного значения. Это означает, что каждая дополнительная единица труда L увеличивает объем выпуска на меньшую величину чем предыдущая. Поэтому на данном отрезке происходит снижение в росте общего продукта. Точка В показывает такую величину общего продукта, при котором предельных продукт равен среднему продукту (MP = AP) .

Точка С иллюстрирует такую ситуацию, когда общий продукт достигает своего максимума, а каждая дополнительная единица труда не оказывает воздействие на объем производства, т.е. предельный продукт равен 0 (MP L = 0). Так как после точки С предельный продукт продолжая снижаться принимает отрицательное значение, то общий продукт соответственно начинает сокращаться.

30. Изокванта и изокоста. Равновесие производителя. Эффект масштаба

Изокванта продукта – это кривая, показывающая все сочетания факторов в пределах одного и того же объема производства. По этой причине ее часто называют линией равного выпуска.

Изокванты в производстве выполняют ту же функцию, что и кривые безразличия в потреблении, поэтому они подобны: на графике также имеют отрицательный наклон, обладают определенной пропорцией замещения факторов, не пересекаются между собой и чем дальше расположены от начала координат, тем больший результат производства отражают.

Рис. Изокванты продукта

Изокванта – результат взаимодействия факторов производства. Но в рыночной экономике нет бесплатных факторов. Следовательно, возможности производства не в последнюю очередь лимитируются финансовыми средствами предпринимателя. Роль бюджетной линии в этом случае выполняет изокоста.

Изокоста – линия, ограничивающая комбинацию ресурсов денежными расходами на производство, поэтому ее часто называют линией равных затрат. С ее помощью определяются бюджетные возможности производителя.

Бюджетные ограничения производителя можно рассчитать:

C = r + K + w + L,

где C– бюджетное ограничение производителя; r– цена услуг капитала (часовая арендная плата); K – капитал; w – цена услуг труда (часовая оплата труда); L– труд.

Рис. Изокоста и ее сдвиг

Эффект масштаба связан с изменением стоимости единицы продукции в зависимости от масштабов ее производства фирмой. Рассматривается в долгосрочном периоде. Снижение затрат на единицу продукции при укрупнении производства называется экономией на масштабе.

Y = 2.248K 0.404 L 0.803

Примечание . Задачу решаем с помощью калькулятора .

Степень однородности этой производственной функции γ = 0.404 + 0.803 = 1.207. Это означает, что при увеличении капитальных и трудовых затрат в λ раз объем производства увеличится в λ 1.207 раз, что характерно для развивающейся экономики.
Средняя фондоотдача AY K равна отношению произведенного продукта к величине затраченного капитала:


Средняя производительность труда AY L равна отношению произведенного продукта к величине затраченного труда L:


Предельная фондоотдача находится как производная объема произведенного продукта Y по величине затраченного капитала K:


Предельную производительность труда , или предельный продукт труда, MY L определим как частную производную продукта Y по величине затраченного труда L:


Эластичность продукта по фактору .
Коэффициентом эластичности продукта по i -фактору называется относительное изменение продукта, выраженное в процентах, при относительном увеличении i -фактора на 1%.
Эластичность по i -фактору равна отношению предельного продукта к среднему продукту по этому фактору.
эластичность производственной функции по фондам равна ε K = α = 0.404
эластичность производственной функции по труду равна ε L = β = 0.803
Если эластичность выпуска по фондам α больше эластичности выпуска по труду, экономика имеет трудосберегающий (интенсивный) рост. Если выполняется обратное неравенство и β > α, то имеет место фондосберегающий (экстенсивный) рост экономики, когда увеличение трудовых ресурсов на 1% приводит к большему росту объема производства, нежели такое же увеличении фондов.
Эластичность масштаба производства .
Средним продуктом масштаба производства называется отношение продукта, полученное при увеличении факторов производства в λ раз, к коэффициенту масштабирования λ:

AY λ = λ 0.207 2.248K 0.404 L 0.803
Предельный продукт масштаба производства определяется как прирост продукции при изменении масштаба производства на единицу:

MY λ = 0.207 λ 0.207 2.248K 0.404 L 0.803
Коэффициентом эластичности масштаба производства называется отношение предельного продукта масштаба к среднему продукту масштаба:

Таким образом, коэффициент эластичности масштаба производства всегда равен степени однородности производственной функции.
Предельная норма замещения факторов производства .
Предельную норму замещения i -фактора производства j -фактором M ij определим соотношением:

Для нашей модели:

Норма замещения фондов трудовыми ресурсами в явном виде : RST K,L = L / K

Норма замещения трудовых ресурсов производственными фондами в явном виде : RST L,K = K / L

Назовем изоклиной множество точек области определения производственной функции, для которых предельная норма замещения i -го фактора производства j -м постоянна.
Для наших данных получаем искомое уравнение семейства изоклин:
K = 1.988M LK L
Как и следовало ожидать, семейство изоклин является семейством прямых линий, выходящих из начала координат. Каждому значению предельной нормы замещения труда капиталом соответствует своя линия.

На рис. изображены две изоклины семейства для значений M LK = 5 и M LK = 2.

Рис. Изокванты и изоклины для производственной функции Y = 2.248K 0.404 L 0.803

Приведенный рисунок наглядно показывает, что движение вдоль линии изокванты возможно лишь при изменении технологии производства, которая сопровождается изменением фондовооруженности занятых в производстве.